Enunciado

Demonstre que lim x → a ⁡ x = a se a > 0 .

[ Sugestão: Use x - a = x - a x + a     ]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto.

Queremos demonstrar a seguinte igualdade:

lim x → a ⁡ x = a

Para a > 0 .

Você pode pensar: “ué... é só fazer x = a que dá certo”.

Mas caaalma hahaha, não é bem assim.

Queremos demonstrar isso pela definição.

E essa definição diz que:

lim x → a ⁡ f x = L

Quando para todo número ε > 0 , existe um número δ > 0 tal que: se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .

Para o que o exercício pede, vamos passar por dois passos: supor um valor para δ e mostrar que esse δ funciona.

Meio abstrato né?? Então bora junto que vai dar certo!! 😉

Ah... o enunciado nos deu a seguinte dica:

x - a = x - a x + a    

Passo 2

Encontrando um valor para δ :

Dado ε > 0 , devemos encontrar um δ > 0 tal que

x - a < ε

e

0 < x - a < δ

e pela sugestão do enunciado temos que

x - a = x - a x + a < ε

Passo 3

Agora, se nós pudermos encontrar uma constante positiva C (para a gente encontrar um valor mínimo de δ ), tal que

x + a > C

Então teríamos

x - a x + a < x - a C < ε

E

x - a < C ε

Podemos encontrar esse número C se restringirmos   x a algum intervalo centrado em a .

Se x - a < 1 2 a , então:

- 1 2 a < x - a < 1 2 a

1 2 a < x < 3 2 a

x + a > 1 2 a + a

Sendo assim, C = 1 2 a + a é uma escolha adequada para essa constante positiva, e:

x - a < 1 2 a + a ε

Isso sugere que nós temos

δ = m i n 1 2 a , 1 2 a + a ε

Passo 4

Mostrando que o δ sugerido funciona:

Dado que ε > 0 , nós temos δ = m i n 1 2 a , 1 2 a + a ε

Se 0 < x - a < δ :

x - a < 1 2 a

Então:

x + a > 1 2 a + a  

Exatamente como no passo anterior.

Também temos que

x - a < 1 2 a + a ε

Então,

x - a = x - a x + a < a 2 + a ε a 2 + a = ε

Assim sendo, lim x → a ⁡ x = a pela definição de limite.

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o gráfico dado de f para encontrar um número δ tal que se 0x - 5δ então f ( x ) - 30,6
Use um gráfico para encontrar um número δ tal quese x - 1δ então 2 x x 2 + 4 - 0,40,1
Use um gráfico para encontrar um número δ tal quese x - π 4δ então tg ⁡ x - 10,2
Use o gráfico dado de f x = 1 x para encontrar um número tal que δ se x - 2δ então 1 x - 0,50,2
Foi pedido a um torneiro mecânico é que fabricasse um disco de metal circular com área de 1000 cm².Qual o raio do disco produzido?Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de ± 5 cm² na área