Enunciado

Demonstre que y = x^2 + int_1^x (1)/(t) d t resolve o problema de valor inicial (d^2 y)/(d x^2) = 2 - (1)/(x^2) ; y ´ (1) = 3 , y (1) = 1

Passo 1

Perceba que para verificar se nossa função é a solução do Problema, devemos calcular a derivada de ordem 2 primeiro. E que ao calcular a derivada, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Então valos lá,

y = x^2 + int_1^x (1)/(t) d t => (d y)/(d x) = 2 x + (1)/(x)

Derivando mais uma vez,

(d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) (2 x + (1)/(x)) (d y)/(d x) => (d^2 y)/(d x^2) = 2 - (1)/(x^2)

Vamos verificar se y satisfaz as condições dadas

y (1) = 1 + int_1^1 (1)/(t) d t = 1

E,

y^' (1) = (d y)/(d x) (1) = 2 (1) + (1)/(1) = 3

E isso confirma que y é solução do Problema.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o problema de valor inicial d 2 y d x 2 = sec 2 ⁡ x y 0 = 0 y ' 0 = 1
Resolva o problema de valor inicial d 2 y d t 2 = 1 - e 2 t y 1 = - 1 y ' 1 = 0
Nos Exercícios 35-38, resolva o problema de valor inicial.38- y - 2 d x d y = e x e 2 x + 1 ,y 0 = 1
Nos Exercícios 31-34, resolva a equação diferencial.33- y y ' = sec ⁡ y 2 sec 2 ⁡ x
Nos Exercícios 35-38, resolva o problema de valor inicial.35- d y d x = e - x - y - 2 ,y 0 = - 2