Enunciado

Seja f x = k ( 3 x - x 2 ) para 0 ≤ x ≤ 3 e f x = 0 se x < 0 ou x > 3 .

(a) Para qual valor de k a função f é uma função densidade de probabilidade?

(b) Para este valor de k, calcule P ( X > 1 ) .

(c) Calcule a média.

Passo 1

Para que a função seja uma densidade de probabilidade, há duas condições:

(1) f x ≥ 0

(2) ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

Então, dado o intervalo do enunciado, fazemos:

f x = k ( 3 x - x 2 ) e k ≥ 0

Se tivermos outros valores de x , f x ≥ 0 para todo x . Logo,

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 3 k ( 3 x - x 2 )     d x

A partir daí é só resolvermos as integrais normalmente!!

∫ 0 3 k ( 3 x - x 2 )     d x = k 3 ( x 2 2 ) - ( x 3 3 ) 0 3

Substituindo os intervalos...

= k [ 3 ( 3 2 2 ) - ( 3 3 3 ) - 0 ]

∫ 0 3 k ( 3 x - x 2 )     d x = k ( 9 2 )

Como ∫ 0 3 k ( 3 x - x 2 )     d x deve ser igual a 1 para ser uma função densidade, logo,

1 = 9 2 k

k = 2 9

Passo 2

Como k = 2 9 , fazemos

∫ 1 3 2 9 ( 3 x - x 2 )     d x

Resolvendo a integral, temos

2 9 ∫ 1 3 ( 3 x - x 2 )     d x = 2 9 3 x 2 2 - x 3 3 1 3

= 2 9 [ 3 3 2 2 - 3 3 3 - ( 3 1 2 2 - 1 3 3 ) ]

= 2 9 [ 27 2 - 2 - ( 3 2 - 1 3 ) ]

= 2 9 [ 27 2 - 9 - ( 3 2 - 1 3 ) ]

= 2 9 10 3

Logo,

∫ 1 3 2 9 ( 3 x - x 2 )     d x = 20 27

Passo 3

Para calcularmos a média, temos:

μ = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

Substituindo nossos dados, temos

μ = ∫ 0 3 x [ 2 9 3 x - x 2 ] d x

= 2 9 ∫ 0 3 3 x 2 - x 3 d x

= 2 9 3 x 3 3 - x 4 4 0 3

= 2 9 [ 3 3 3 3 - 3 4 4 - 0 ]

Logo,

μ = 2 9 ( 27 - 81 4 )

μ = 3 2

Resposta

(a) k = 2 9

(b) 20 27

(c) μ = 3 2

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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Calcule as integrais sem usar tabelas. ∫ 0 ∞ d x ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )