Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivadas.

f x = x 2 x - 1

Passo 1

Vamos começar esse probleminha derivando a função,

f x = x 2 x - 1

Fazendo pela regra da cadeia temos que:

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

Pelo teste da Primeira Derivada f ' x > 0 quando x < 0 ou x > 2 . E para, f ' x < 0 , o valor de x precisa ser 0 < x < 1 ou 1 < x < 2 . Com esses valores podemos dizer que quando f ' muda de positivo para negativo x = 0 e esse valor de máximo é

f 0 = 0 2 0 - 1

f 0 = 0

Quando f ' muda de negativo para positivo x = 2 , temos um valor de mínimo que é

f 2 = 2 2 2 - 1

f 2 = 4

Passo 2

Fazendo pelo teste da segunda derivada,

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

f ' ' x = x 2 x - 1

f ' ' x = 2 x - 1 3

Temos, portanto, que quando f ' ' ( x ) = 0 , x = - 2 ,   f ' ' 0 = - 2 < 0 . Então,

f 0 = 0 2 0 - 1

f 0 = 0

f 0 = 0   é um máximo local.

Quando f ' ' 2 = 2 > 0 , temos então um valor de mínimo, que equivale a

f 2 = 2 2 2 - 1

f 2 = 4

f 2 = 4 é um valor de mínimo local.

Então fica a seu critério escolher um dos testes, mas o teste da Primeira derivada é o mais simples até mesmo pela resolução da derivada

Resposta

x = 0 e esse valor de máximo é f 0 = 0 . E, x = 2 , é um valor de mínimo que corresponde a f 2 = 4 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as dimensões do retângulo com área máxima que pode ser inscrito em um círculo com raio de 10 cm
Um campo deve ter o formato de um triângulo retângulo, com a hipotenusa ao longo de um rio reto e uma cerca delimitando os dois catetos do campo. Encontre as dimensões do campo de maior área que pode
Resolva o Exercício 6, supondo o retângulo posicionado conforme a figura Ex-7.Enunciado da questão 6:Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 cm. Enc
Em cada parte, determine se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta. (a) Se f for diferenciável no intervalo aberto ( a ,b ) e tiver aí um extremo absoluto, então este deve ocorre
De acordo com o Teorema do Valor Extremo, quais condições sobre uma função f e um intervalo dados garantem que f irá ter um máximo e um mínimo absolutos no intervalo?