Enunciado

Demonstre que, se a n ≥ 0 e ∑ a n convergir, então ∑ a n 2 também converge.

Passo 1

Primeiramente, vamos pensar o seguinte, se tivermos uma soma ( a + b ) , onde a , b ≥ 0 , podemos dizer que

a + b 2 ≥ a 2 + b 2

Isso porque se distribuirmos a multiplicação

a 2 + 2 a b + b 2 ≥ a 2 + b 2

No lado esquerdo, temos 2 a b a mais que no direito, e como a e b são positivos, o lado esquerdo fica maior.

Apesar de o exemplo ter sido com 2 termos, com quantos termos for podemos afirmar que o quadrado da soma é maior que a soma dos quadrados, ou seja

a 1 + a 2 + a 3 + … 2 ≥ a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + …

Passo 2

Então, já que nossa série converge, podemos falar que o limite se sua soma é s

∑ a n = s = a 1 + a 2 + a 3 + …

Sendo que s é um número finito e positivo, logo s 2 também é finito, pois o quadrado de um número finito dá um número finito.

s 2 = a 1 + a 2 + a 3 + … 2

Analisando a comparação

a 1 + a 2 + a 3 + … 2 ≥ a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + …

Podemos substituir s 2

s 2 ≥ a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + …

E do lado direito temos a série ∑ a n 2 , logo

s 2 ≥ ∑ a n 2

Então temos que ∑ a n 2 é menor que um número finito, e como todos os termos da série são positivos, pelo teste da comparação, essa série converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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