Enunciado

Demonstre o Teorema 7 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo joia?

Galera, o Teorema 7 nos diz que se l i m n → ∞   a n = L e se a função f for contínua em L , então

l i m n → ∞   f a n = f ( L )

Então, basicamente, o teorema diz que, se uma sequência se aproxima de um número e você tem uma função que não tem saltos nesse número, então a aplicação dessa função aos termos da sequência se comportará como se você aplicasse a função ao próprio número que a sequência está se aproximando.

Passo 2

Dado que lim n → ∞ ⁡ a n =𝐿, isso significa que para qualquer ε > 0 , existe um número natural N tal que para todo n ≥ N , os termos da sequência a n ​ estão dentro da vizinhança de L , isto é, ∣ a n - L ∣ < ε .

Agora, queremos demonstrar que l i m n → ∞   f a n = f ( L ) :

Dado que f ( x ) é contínua em L , temos que para qualquer ε > 0 , existe δ > 0   tal que se ∣ x - L ∣ < δ , então ∣ f ( x ) - f ( L ) ∣ < ε .

Vamos aplicar isso aos termos da sequência a n :

Como lim n → ∞ ⁡ a n =𝐿, temos que para n suficientemente grande, ∣ a n - L ∣ < δ , onde δ é o valor associado a ε pela continuidade de f ( x ) em L .

Então, para n suficientemente grande, temos ∣ f ( a n ) - f ( L ) ∣ < ε , o que implica que li l i m n → ∞   f a n = f ( L ) .

Portanto, demonstramos que se lim n → ∞ ⁡ a n =𝐿 e f ( x ) é contínua em L , então l i m n → ∞   f a n = f ( L ) .

Acabou a demonstração, pessoal!

Resposta

Teorema 7 demonstrado no passo 2.

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