Enunciado

Use a definição de uma hipérbole para deduzir a Equação 6 para uma hipérbole com focos ( ± c , 0 ) e vértices ( ± a , 0 ) .

Passo 1

A Equação 6 que precisamos deduzir é x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Pela definição de hipérbole, sabemos que P F 1 - P F 2 = ± 2 a , onde P é um ponto qualquer pertencente a hipérbole.

Então, usando a fórmula para distância entre dois pontos, ficamos com:

x + c 2 + y - 0 2 - x - c 2 + y - 0 2 =   ± 2 a

x + c 2 + y 2 = x - c 2 + y 2   ± 2 a

Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + x - c 2 + y 2   ± 4 a x - c 2 + y 2

x + c 2 - x - c 2 - 4 a 2 =   ± 4 a x - c 2 + y 2

Vamos lembrar de um produto notável agora: a 2 - b 2 = a + b ( a - b ) e aplicá-lo na nossa conta:

x + c - x + c x + c + x - c - 4 a 2 =   ± 4 a x - c 2 + y 2

2 c 2 x - 4 a 2 = ± 4 a x - c 2 + y 2

c x - a 2 = ± a x - c 2 + y 2

Agora elevamos ao quadrado dos dois lados mais uma vez:

c x - a 2 2 = a 2 x - c 2 + y 2

c 2 x 2 + a 4 - 2 a 2 c x = a 2 [ x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 ]

c 2 x 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2

a 4 - a 2 c 2 = a 2 x 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2

a 2 ( a 2 - c 2 ) = ( a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2

Lembra que c 2 - a 2 = b 2 ? Agora olha pra nossa equação, esse termo aparece ali duas vezes, vamos substituí-los:

- a 2 b 2 = - b 2 x 2 + a 2 y 2

Agora vamos dividir a equação toda por - a 2 b 2 :

1 = x 2 a 2 - y 2 b 2

E assim, terminamos nossa demonstração.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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