Enunciado

Resolva (d y)/(d x) = 6 + 5 y + y^2 .

Passo 1

Então pessoal, inicialmente precisamos responder: o que é uma equação de Ricatti? Esse tipo de equação apresenta o seguinte formato:

(d y)/(d x) = P (x) + Q (x) y + R (x) y^2

Para resolve-la devemos fazer uma substituição, ok? Sabendo que y_1 é uma solução particular dessa equação, então as substituições abaixo são válidas, olha só:

y = y_1 + u

(d y)/(d x) = (d y_1)/(d x) + (d u)/(d x)

O objetivo aqui é fazer essas substituições para reduzir a equação à uma equação de Bernoulli, conforme discutimos em exercícios passados. Sim, a solução desse tipo de equação é longa, mas tendo atenção dá pra resolver com facilidade!

Passo 2

Nossa equação é a seguinte:

(d y)/(d x) = 6 + 5 y + y^2

Sabendo que y_1 = - 2 , então nossa substituição será:

y = - 2 + u

Derivando, teremos:

(d y)/(d x) = 0 + (d u)/(d x)

:. (d y)/(d x) = (d u)/(d x)

Agora substituindo na nossa equação original, teremos:

(d u)/(d x) = 6 + 5 (- 2 + u) + (- 2 + u) ²

Simplificando:

(d u)/(d x) = 6 - 10 + 5 u + 4 - 4 u + u^2

(d u)/(d x) = u + u^2

(d u)/(d x) - u = u^2

Conseguimos o que queríamos, que era encontrar uma equação diferencial de Bernoulli. Show!

Passo 3

Fazendo a substituição:

w = u^(1 - n) = u^(1 - 2)

w = u^(- 1) => u = w^(- 1)

Derivando em relação a x , obteremos:

(d u)/(d x) = - w^(- 2) . (d w)/(d x)

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

(d u)/(d x) - u = u^2

- w^(- 2) . (d w)/(d x) - w^(- 1) = w^(- 2)

Simplificando:

- (d w)/(d x) - w = 1

(d w)/(d x) + w = - 1

E então tiramos que:

P (x) = 1

Q (x) = - 1

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e^(- int P d x) . (int e^(int P d x) . Q d x + c)

w = e^(- int 1 d x) . (- int e^(int 1 d x) d x + c)

Para a integral do expoente, teremos:

int d x = x

Substituindo na solução geral:

w = e^(- x) . (- int e^x d x + c)

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

int e^x d x = e^x

Substituindo na solução novamente:

w = e^(- x) . (- e^x + c)

:. w = - 1 + (c)/(e^x)

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo.

Passo 5

O resultado que encontramos está como w (x) e queremos o resultado como u (x) , certo? Lá no passo 3 a substituição que fizemos foi:

w = u^(- 1) => u = w^(- 1)

Voltando para a variável u , teremos:

u^(- 1) = - 1 + (c)/(e^x)

:. u = (- 1 + (c)/(e^x))^(- 1)

E, finalmente, voltando para y , teremos:

y + 2 = (- 1 + (c)/(e^x))^(- 1)

:. y = (- 1 + (c)/(e^x))^(- 1) - 2

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = (- 1 + (c)/(e^x))^(- 1) - 2

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