Enunciado

Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

1. x e 2 y . d y d x + e 2 y = ln ⁡ x x

Passo 1

Então pessoal, aqui a ideia é utilizar uma substituição que seja interessante pra gente facilitar nossa integração, tudo bem? Para a equação que nos foi dada, uma substituição interessante seria:

u = e 2 y

Derivando, teremos:

d u d x = 2 e 2 y . d y d x

Se substituirmos na nossa equação diferencial, teremos:

x . d u d x + u = ln ⁡ x x

d u d x + 2 u x = 2 ln ⁡ x x 2

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Passo 2

O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

u = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Do passo 1 tiramos que:

P x = 2 x

Q x = 2 ln ⁡ x x 2

Substituindo na solução geral, teremos:

u = e - ∫ 2 x d x . 2 ∫ e ∫ 2 x d x . ln ⁡ x x 2 d x + c

Para as integrais dos expoentes temos que:

∫ 2 x d x = 2 ln ⁡ x

Substituindo na solução:

u = e - 2 ln ⁡ x . 2 ∫ e 2 ln ⁡ x . ln ⁡ x x 2 d x + c

Simplificando:

u = x - 2 . 2 ∫ x 2 . ln ⁡ x x 2 d x + c

u = x - 2 . 2 ∫ ln ⁡ x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 3

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ ln ⁡ x d x

O bom é que essa integral tem um valor definido e tabelado, que é:

∫ ln ⁡ x d x = x . ln ⁡ x - x

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

u = x - 2 . 2 ∫ ln ⁡ x d x + c

u = x - 2 . 2 x . ln ⁡ x - x + c

u = 1 x 2 2 x . ln ⁡ x - 2 x + 1 x 2 c

Como u = e 2 y , então nossa resposta será:

e 2 y = 1 x 2 2 x . ln ⁡ x - 2 x + 1 x 2 c

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

e 2 y = 1 x 2 2 x . ln ⁡ x - 2 x + 1 x 2 c

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