Enunciado

Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.

16. d y d x = s e c 2 x - tan ⁡ x y + y 2 ,   y 1 = tan ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, inicialmente precisamos responder: o que é uma equação de Ricatti? Esse tipo de equação apresenta o seguinte formato:

d y d x = P x + Q x y + R x y 2

Para resolve-la devemos fazer uma substituição, ok? Sabendo que y 1 é uma solução particular dessa equação, então as substituições abaixo são válidas, olha só:

y = y 1 + u

d y d x = d y 1 d x + d u d x

O objetivo aqui é fazer essas substituições para reduzir a equação à uma equação de Bernoulli, conforme discutimos em exercícios passados. Sim, a solução desse tipo de equação é longa, mas tendo atenção dá pra resolver com facilidade!

Passo 2

Nossa equação é a seguinte:

d y d x = s e c 2 x - tan ⁡ x y + y 2

Sabendo que y 1 = tan ⁡ x , então nossa substituição será:

y = tan ⁡ x + u

Derivando, teremos:

d y d x = s e c 2 x + d u d x

Agora substituindo na nossa equação original, teremos:

s e c 2 x + d u d x = s e c 2 x - tan ⁡ x tan ⁡ x + u + tan ⁡ x + u 2

Simplificando:

d u d x = s e c 2 x - s e c 2 x - t a n 2 x - tan ⁡ x u + t a n 2 x + 2 tan ⁡ x u + u 2

d u d x = - tan ⁡ x u + 2 tan ⁡ x u + u 2

d u d x = tan ⁡ x u + u 2

d u d x - tan ⁡ x u = u 2

Conseguimos o que queríamos, que era encontrar uma equação diferencial de Bernoulli. Show!

Passo 3

Fazendo a substituição:

w = u 1 - n = u 1 - 2

w = u - 1 ⇒ u = w - 1

Derivando em relação a x , obteremos:

d u d x = - w - 2 . d w d x

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d u d x - tan ⁡ x u = u 2

- w - 2 . d w d x - tan ⁡ x w - 1 = w - 2

Simplificando:

- d w d x - tan ⁡ x w = 1

d w d x + tan ⁡ x w = - 1

E então tiramos que:

P x = tan ⁡ x

Q x = - 1

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

w = e - ∫ tan ⁡ x d x . - ∫ e ∫ tan ⁡ x d x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ tan ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x

Substituindo na solução geral:

w = e - ln ⁡ sec ⁡ x . - ∫ e ln ⁡ sec ⁡ x d x + c

w = cos ⁡ x . - ∫ sec ⁡ x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u

Substituindo na solução novamente:

w = cos ⁡ x . - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u + c

∴ w = - cos ⁡ x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u + c . cos ⁡ x

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo.

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como u x , certo? Lá no passo 3 a substituição que fizemos foi:

w = u - 1 ⇒ u = w - 1

Voltando para a variável u , teremos:

u - 1 = - cos ⁡ x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u + c . cos ⁡ x

∴ u = - cos ⁡ x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u + c . cos ⁡ x - 1

E, finalmente, voltando para y , teremos:

y - tan ⁡ x = - cos ⁡ x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u + c . cos ⁡ x - 1

∴ y = - cos ⁡ x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u + c . cos ⁡ x - 1 + tan ⁡ x

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = - cos ⁡ x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ u + c . cos ⁡ x - 1 + tan ⁡ x

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.12. d y d x = 1 - x - y + x y 2 ,   y 1 = 1
Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.11. d y d x = - 2 - y + y 2 ,   y 1 = 2
Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.14. d y d x = 2 x 2 + 1 x y - 2 y 2 ,   y 1 = x
Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.15. d y d x = e 2 x + 1 + 2 e x y + y 2 ,   y 1 = - e x
Resolva d y d x = 9 + 6 y + y 2 .
Resolva d y d x = 6 + 5 y + y 2 .
Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.13. d y d x = - 4 x 2 - 1 x y + y 2 ,   y 1 = 2 x