Enunciado

(a) Denote por D = D a um disco de raio a submerso em um fluido de peso específico ρ de tal maneira que o centro de D esteja h unidades abaixo da superfície do fluido. Para cada valor de r no intervalo ( 0 ,   a ] , seja D r o disco de raio r que é concêntrico com D . Escolha um lado do disco D e defina P ( r ) como a pressão do fluido no lado escolhido de D r . Use (5) para provar que

lim r → 0 + ⁡ P ( r ) = ρ h

(b) Explique por que o resultado de (a) pode ser interpretado como significando que a pressão de um fluido a uma dada profundidade é a mesma em todas as direções. (Essa afirmação é uma versão de um resultado conhecido como Princípio de Pascal .)

Passo 1

Bom galera, vamos considerar h 1 e h 2 como as profundidades máxima e mínima do disco D r . Assim, a pressão P ( r ) em um lado do disco satisfaz a desigualdade da expressão (5):

ρ h 1 ≤ P r ≤ ρ h 2

Mas, quanto ao limite, temos:

lim r → 0 + ⁡ h 1 = lim r → 0 + ⁡ h 2 = h

E, consequentemente:

ρ h = lim r → 0 + ⁡ ρ h 1 ≤   lim r → 0 + ⁡ P r ≤ lim r → 0 + ⁡ ρ h 1 = ρ h

Então:

lim r → 0 + ⁡ P ( r ) = ρ h

Passo 2

Pelo principio de Pascal, o aumento da pressão exercida em um líquido em equilíbrio é transmitido integralmente a todos os pontos do líquido bem como às paredes do recipiente em que ele está contido.

Assim, podemos interligar esse fenômeno ao dos discos D r . Na Parte (a), não têm direção específica (os eixos dos discos têm direção). Assim, P , o valor limite de P ( r ) , é independente da direção.

Prontinho!!!

Resposta

(a) lim r → 0 + ⁡ P ( r ) = ρ h

(b) o valor limite de P ( r ) é independente da direção.

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Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto do plano limitado pelo eixo 0x, pelo gráfico de y = x 3 - x , - 1 ≤ x ≤ 1 .
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