Enunciado

Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas x das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da região.

A região englobada pelos gráficos de y = ( ln ⁡ x ) / x e y = x - 2 .

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

Mas para descobrir os extremos de integração, muitas vezes precisamos achar a interseção entre curvas, e é aí que entra o método de Newton. Ele diz que usando essa fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n ,   n = 1,2 , 3 ,   …

Achamos uma aproximação para x que zera a função f ( x ) . E para achar a interseção entre duas funções g ( x ) e h ( x ) a partir desse método, fazemos:

h x = g x ∴ h x - g x = 0

E chamamos:

f x = h x - g ( x )

Aí só usar a fórmulinha. Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Essa é a nossa região:

Vemos que a região está limitada por cima pela função y = ( ln ⁡ x ) / x e por baixo pela função y = x - 2 . Já que temos funções de x , podemos escrever nossa integral como:

A = ∫ a b ln ⁡ x x - x + 2 d x

O desafio é achar os extremos de integração. Vamos fazer a interseção entre as curvas:

ln ⁡ x x = x - 2

A solução dessa equação, a gente vai ter que achar usando o método de Newton.

ln ⁡ x x = x - 2   ∴   ln ⁡ x x - x + 2 = 0   ∴ f x = ln ⁡ x x - x + 2

Agora a gente usa a fórmula de Newton até aproximar o valor de x com pelo menos quatro casas decimais:

f ' x = 1 x 2 1 x x - ln ⁡ x - 1

x n + 1 = x n - ln ⁡ x n x n - x n + 2 1 x n 2 1 - ln ⁡ x n - 1

Pelo gráfico a gente vê que nossa equação tem duas soluções, então vamos precisar achar x a e x b . Olhando para o gráfico vemos que x a está entre 0 e 1 , por isso vamos chutar x a 1 = 0,5 , para fugir da divisão por 0 . Já olhando para x b , vemos que ele está entre 2 e 2,5 , por isso vamos chutar x b 1 = 2 . Vemos que x a 4 e x a 5 já repitiram 4 casas decimais, e o mesmo acontece para x b 3 e x b 4 .

Logo, nosso a = 0,4814 e b = 2,3639 .

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

A ≈ ∫ 0,4814 2,3639 ln ⁡ x x - x + 2 d x

Usando uma substituição simples na expressão com l n , u = ln ⁡ x . Calculamos a integral e vemos que:

A ≈ 1,1897

Resposta

A ≈ 1,1897

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