Enunciado

Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas x das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da região.

A região englobada pelos gráficos de y = 3 - 2 cos ⁡ x e y = 2 / ( 1 + x 2 ) .

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

Mas para descobrir os extremos de integração, muitas vezes precisamos achar a interseção entre curvas, e é aí que entra o método de Newton. Ele diz que usando essa fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n ,   n = 1,2 , 3 ,   …

Achamos uma aproximação para x que zera a função f ( x ) . E para achar a interseção entre duas funções g ( x ) e h ( x ) a partir desse método, fazemos:

h x = g x ∴ h x - g x = 0

E chamamos:

f x = h x - g ( x )

Aí só usar a fórmulinha. Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Essa é a nossa região:

Vemos que a região está limitada por cima pela função y = 2 / ( 1 + x 2 ) e por baixo pela função y = 3 - 2 cos ⁡ x . Percebemos também que nossa região é simétrica em relação y , por isso podemos achar a área da direita e multiplicar por dois. Já que temos funções de x , podemos escrever nossa integral como:

A = 2 ∫ 0 b 2 1 + x 2 - 3 + 2 cos ⁡ x d x

O desafio é achar os extremos de integração. Vamos fazer a interseção entre as curvas:

2 1 + x 2 = 3 - 2 cos ⁡ x

A solução dessa equação, a gente vai ter que achar usando o método de Newton.

2 1 + x 2 = 3 - 2 cos ⁡ x   ∴   2 1 + x 2 - 3 + 2 cos ⁡ x = 0   ∴ f x = 2 1 + x 2 - 3 + 2 cos ⁡ x

Agora a gente usa a fórmula de Newton até aproximar o valor de x com pelo menos quatro casas decimais:

f ' x = 1 1 + x 2 2 - 4 x - 2   s e n   ( x )

x n + 1 = x n - 2 1 + x n 2 - 3 + 2 cos ⁡ x n 1 1 + x n 2 2 - 4 x n - 2 s e n ( x n )

Pelo gráfico a gente vê que a interseção no lado direito ocorre entre 0,5 e 1 , por isso vamos chutar x 1 = 0,5 . Vemos que x 3 e x 4 já repetem 4 casas decimais.

Logo, nosso b = 0,6492 .

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

A ≈ 2 ∫ 0 0,6492 2 1 + x 2 - 3 + 2 cos ⁡ x d x

Lembrando que:

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g   x + C

Temos que:

A ≈ 0,8262

Resposta

A ≈ 0,8262

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