Derive.

y = t^3 \* e^(-3t)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f t g t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t

Temos que:

f t = t 3

e

g t = e - 3 t

t 3 e - 3 t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t = t 3 ' ⋅ e - 3 t + e - 3 t ' ⋅ t 3

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

e f t ' = e f t ⋅ f ' ( t )

sen ⁡ t ' = cos ⁡ t

t n ' = n t n - 1

y ' = f ' g t ⋅ g ' t

Passo 3

Para calculcar f ' t vamos usar a regra do polinômio:

f ' ( t ) = t 3 ' = 3 t 3 - 1 = 3 t 2

Com   g ' t vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( t ) = e - 3 t ' = e - 3 t ⋅ - 3 t ' = e - 3 t ⋅ - 3 t 1 - 1 = e - 3 t ⋅ - 3 t 0 = e - 3 t ⋅ - 3 ⋅ 1 = - 3 e - 3 t

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = t 3 e - 3 t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t = t 3 ' ⋅ e - 3 t + e - 3 t ' ⋅ t 3 = 3 t 2 ⋅ e - 3 t + - 3 e - 3 t ⋅ t 3 = 3 t 2 e - 3 t 1 - t

Resposta

y ' = 3 t 2 e - 3 t 1 - t

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