Derive.

y = cos(5x) / sen(2x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

g ' x = f ' x h x - f x h ' x h x 2

Onde:

f x = cos ⁡ 5 x

e

h x = sen ⁡ 2 x

Assim temos então que:

cos ⁡ 5 x sen ⁡ 2 x ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2 = cos ⁡ 5 x ' sen ⁡ 2 x - cos ⁡ 5 x sen ⁡ 2 x ' sen ⁡ 2 x 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' x :

f ' x = cos ⁡ 5 x ' = - sen ⁡ 5 x ⋅ 5 x ' = - sen ⁡ 5 x ⋅ 5 x 1 - 1 = - sen ⁡ 5 x ⋅ 5 x 0 = - sen ⁡ 5 x ⋅ 5 ⋅ 1 = - 5 sen ⁡ 5 x

Agora para h ' x :

h ' x = sen ⁡ 2 x ' = cos ⁡ 2 x ⋅ 2 x ' = cos ⁡ 2 x ⋅ 2 x 1 - 1 = cos ⁡ 2 x ⋅ 2 x 0 = cos ⁡ 2 x ⋅ 2 ⋅ 1 = 2 cos ⁡ 2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = cos ⁡ 5 x sen ⁡ 2 x ' = cos ⁡ 5 x ' sen ⁡ 2 x - cos ⁡ 5 x sen ⁡ 2 x ' sen ⁡ 2 x 2 = - 5 sen ⁡ 5 x sen ⁡ 2 x - cos ⁡ 5 x 2 cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x 2 = - 5 sen ⁡ 5 x sen ⁡ 2 x - 2 cos ⁡ 2 x cos ⁡ 5 x sen 2 ⁡ 2 x

Resposta

y ' = - 5 sen ⁡ 5 x sen ⁡ 2 x - 2 cos ⁡ 2 x cos ⁡ 5 x sen 2 ⁡ 2 x

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