Derive.

f(x) = e^(-x^2) + ln(2x + 1)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da soma:

f ' x = e - x 2 + ln ⁡ 2 x + 1 ' = e - x 2 ' + ln ⁡ 2 x + 1 '

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

Com a primeira vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

e - x 2 ' = e - x 2 ⋅ - x 2 ' = e - x 2 ⋅ - 2 x 2 - 1 = e - x 2 ⋅ - 2 x = - 2 x e - x 2

Já com a segunda usamos a regra da função logarítmica natural, da função constante e a do polinômio:

ln ⁡ 2 x + 1 ' = 1 2 x + 1 ⋅ 2 x + 1 ' = 1 2 x + 1 ⋅ 2 x 1 - 1 + 0   = 1 2 x + 1 ⋅ 2 x 0   = 1 2 x + 1 ⋅ 2 ⋅ 1   = 2 2 x + 1

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f ' x = e - x 2 ' + ln ⁡ 2 x + 1 ' = - 2 x e - x 2 + 2 2 x + 1

Resposta

f ' x = - 2 x e - x 2 + 2 2 x + 1

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