Derive.

y = e^(-2t) \* sen(3t)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f t g t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t

Temos que:

f t = e - 2 t

e

g t = sen ⁡ 3 t

e - 2 t sen ⁡ 3 t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t = e - 2 t ' ⋅ sen ⁡ 3 t + sen ⁡ 3 t ' ⋅ e - 2 t

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

e f t ' = e f t ⋅ f ' ( t )

sen ⁡ t ' = cos ⁡ t

t n ' = n t n - 1

y ' = f ' g t ⋅ g ' t

Passo 3

Para calculcar f ' t vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( t ) = e - 2 t ' = e - 2 t ⋅ - 2 t ' = e - 2 t ⋅ - 2 t 1 - 1 = e - 2 t ⋅ - 2 t 0 = e - 2 t ⋅ - 2 ⋅ 1 = - 2 e - 2 t

Com g ' ( t ) usamos a regra da função trigonométrica:

g ' t = sen ⁡ 3 t ' = cos ⁡ 3 t ⋅ 3 t ' = cos ⁡ 3 t ⋅ 3 t 1 - 1 = cos ⁡ 3 t ⋅ 3 t 0 = cos ⁡ 3 t ⋅ 3 ⋅ 1 = 3 cos ⁡ 3 t

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = e - 2 t sen ⁡ 3 t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t = e - 2 t ' ⋅ sen ⁡ 3 t + sen ⁡ 3 t ' ⋅ e - 2 t = - 2 e - 2 t ⋅ sen ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t ⋅ e - 2 t = e - 2 t - 2 sen ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t

Resposta

y ' = e - 2 t - 2 sen ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t

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