Derive.

y = ln(x + raiz(x^2 + 1))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = x + x 2 + 1

f u = ln ⁡ u

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = ln ⁡ u ' ⋅ x + x 2 + 1 '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, da função logarítmica natural e do polinômio:

c ' = 0

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = ln ⁡ u ' = 1 u ⋅ u ' = 1 u ⋅ u 1 - 1 = 1 u ⋅ u 0 = 1 u ⋅ 1 = 1 u

Agora para g ' x :

g ' x = x + x 2 + 1 ' = x ' + x 2 + 1 ' = x ' + x 2 + 1 1 2 ' = x 1 - 1 + 1 2 x 2 + 1 1 2 - 1 ⋅ x 2 + 1 ' = x 0 + 1 2 x 2 + 1 - 1 2 ⋅ 2 x + 0 = 1 + 1 2 x 2 + 1 ⋅ 2 x = 1 + x x 2 + 1

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = ln ⁡ u ' ⋅ x + x 2 + 1 ' = 1 u ⋅ 1 + x x 2 + 1

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 1 u ⋅ 1 + x x 2 + 1 = 1 x + x 2 + 1 ⋅ 1 + x x 2 + 1

Resposta

y ' = 1 x + x 2 + 1 ⋅ 1 + x x 2 + 1

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