Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = x^5 - 5 x

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida.

Assim, temos que:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interceção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) = 0^5 - 5 xx 0 = 0

0 = x^5 - 5 x => x (x^4 - 5) = 0 => x = 0 e x^4 - 5 = 0 => x^4 = 5 => x = +- root(4)(5)

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando x = 1 :

  1. f (- 1) = f (1) => (- 1)^5 - 5 (- 1) = 1^5 - 5 xx 1 => 4 != - 4
  2. f (- 1) = - f (1) => (- 1)^5 - 5 (- 1) = - (1 - 5 xx 1) => 4 = 4
  3. Não possui período.

Logo como satisfaz o caso ii, f é uma função ímpar.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se f (x) = L e f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

f (x) = oo f (x) = oo

f (x) = - oo f (x) = - oo

Temos:

x^5 - 5 x = oo

E para este caso não temos nenhuma assíntota vertical, logo não há assíntotas.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando, temos:

f^' (x) = 5 x^4 - 5 = 5 (x^4 - 1) > 0 => - 1 < x < 1

Logo, f é crescente para (1 , oo) e (- oo , - 1) e decrescente entre ( - 1,1 ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para positiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => 5 (x^4 - 1) = 0 => x^4 - 1 = 0 => x^() = +- 1

Analisamos agora um ponto antes e outro depois de cada um dos pontos críticos para saber o sinal em que a função assume e assim se cresce ou decresce.

Para x = 0 : f (0) = 0

Para x = 1 : f (1) = - 4

Para x = 2 : f (2) = 22

Logo para o ponto crítico 1 , a função decresce antes dele e cresce depois dele.

Para x = - 2 : f (- 2) = - 22

Para x = 1 : f (- 1) = 4

Para x = 2 : f (0) = 0

Logo para o ponto crítico - 1 , a função cresce antes dele e decresce depois dele .

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^(' ') (x) => (5 x^4 - 5)^' = 20 x^3

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( - oo , 0 ) e côncava para cima com x nos intervalos ( 0 , + oo ) , visto que x^3 resulta em valores negativos para x < 0 e vale lembrar que f é uma função ímpar, logo possui simetria na origem.

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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