Enunciado

  1. Mostre que 1 <= sqrt(1 + x^3) <= 1 + x^3 para x >= 0
  2. Mostre que 1 <= int_0^1 sqrt(1 + x^3) d x <= 1,25

Passo 1

  1. Vamos chamar de f uma função tal que f (x) = sqrt(x) , derivando, temos que f^' (x) = 1 // ( 2 sqrt(x) ) e temos que
  2. (1)/(2 sqrt(x)) > 0 , AA x > 0

    Então, podemos ver que f está aumentando no intervalo (0 , oo) . Se x >= 0 então x^3 >= 0 , adicionando 1 em ambos os lados, temos

    1 + x^3 >= 1

    Isso quer dizer que

    f (1 + x^3) >= f (1)

    Então

    sqrt(1 + x^3) >= 1 , AA x > 0

    Agora, vamos dizer o seguinte, seja g (t) = t^2 - t , derivando, temos que g^' (t) = 2 t - 1 e temos que

    2 t - 1 > 0 , AA t >= 1

    Então, podemos ver que g está aumentando no intervalo (1 , oo) , então, desde que g (1) = 0 , g (t) >= 0 quando t >= 1 .

    Agora, seja t = sqrt(1 + x^3) , quando x >= 0

    sqrt(1 + x^3) >= 1

    t >= 1

    g (t) >= 0

    Então

    (1 + x^3) - sqrt(1 + x^3) >= 0

    Para x >= 0 , então

    1 <= sqrt(1 + x^3) <= 1 + x^3

    Passo 2

  3. Pela parte (a) da Propriedade 7:

int_0^1 1 d x <= int_0^1 sqrt(1 + x^3) d x <= int_0^1 (1 + x^3) d x

[x]_0^1 <= int_0^1 sqrt(1 + x^3) d x <= [x + (x^4)/(4)]_0^1

1 <= int_0^1 sqrt(1 + x^3) d x <= 1 + (1)/(4)

1 <= int_0^1 sqrt(1 + x^3) d x <= 1,25

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Calculee) ∫ t g 2 x d x
10. Calculeb)int sec^2 x d x
10. Calculei) ∫ 5 x + e - x d x
10. Calculem) ∫ cos ⁡ x + sec ⁡ x cos ⁡ x d x
10- Calcule.d) ∫ sec ⁡ xd x