Enunciado

Derive a função

f ( y ) = y ln ( 1 + e^y )

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função apresentada em relação a y . Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, Regra do Produto e outras regras.

Passo 2

Iremos derivar f ( y ) em relação a y . Veja que f ( y ) é composta por uma função l n que possui em seu argumento outra função ( 1 + e^y ) . Dessa forma, deveremos utilizar a regra da cadeia e após derivar f ( y ) , iremos derivar a função que se encontra dentro da função l n e multiplicar as derivadas. Além disso, f ( y ) é composta pelo produto de duas funções diferentes ( y e ln (1 + e^y) ) . Assim, devemos utilizar a regra do produto, que ocorre da seguinte maneira

(f (y) g (y))^' = f^' (y) g (y) + g^' (y) f ( y )

Passo 3

Derivando f ( y ) , temos

f^' (y) = ( 1 ) ln ( 1 + e^y ) + y ((1)/(1 + e^y)) e^y

Veja que, pela regra do produto, temos a função sendo multiplicada do lado de fora dos parênteses. Dentro dos parênteses, temos a derivada das funções de f ( x ) . No segundo termo da soma, temos e^y multiplicando a derivada, que é o resultado da derivada de 1 + e^y e aparece pela regra da cadeia.

Resposta

f^' (y) = ln ( 1 + e^y ) + ((y e^y)/(1 + e^y))

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