Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

69. y = 3t \* (2t^2 - 5)^4

Passo 1

Então pessoal, de ínicio notamos que a nossa função é um produto entre duas funções, certo? Dessa forma, para derivarmos y , teremos que utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

d y d t = u ' . v + u . v '

No qual u e v são funções de t , claro. Mas quem são u e v ?

u = 3 t

v = 2 t 2 - 5 4

Agora o que precisamos fazer é resolver essas derivadas, beleza? Então bora lá!

Passo 2

Primeiro descobrindo u ' , teremos:

u ' = 3

Agora para descobrirmos v ' , teremos que utilizar a regra da cadeia, que nos diz para derivar a função mais externa e multiplicar pela derivada da função mais interna, se liga:

v ' = 4 . 2 t 2 - 5 3 . ( 2 t 2 - 5 ) '

v ' = 4 . 2 t 2 - 5 3 . 4 t

∴ v ' = 16 t . ( 2 t 2 - 5 ) ³

Passo 3

Agora que já temos u ' e v ' , basta substituirmos na regra do produto. Se liga como vai ficar!

d y d t = u ' . v + u . v '

d y d t = 3 . 2 t 2 - 5 4 + 3 t . 16 t . ( 2 t 2 - 5 ) ³

Botando em evidência e simplificando a expressão, teremos:

d y d t = 3 2 t 2 - 5 3 [ 2 t 2 - 5 + 16 t 2 ]

∴ d y d t = 3 2 t 2 - 5 3 [ 1 8 t 2 - 5 ]

Resposta

d y d t = 3 2 t 2 - 5 3 [ 18 t 2 - 5 ]

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