Enunciado

Derive a função

f ( x ) = ln (sin^2 x)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função f ( x ) = ln (sin^2 x) em relação a x .

Para isso, veja que f ( x ) é composta por uma função ln que possui em seu argumento outra função (sin^2 x) . Dessa forma, como se trata de uma função composta, deveremos utilizar a regra da cadeia na sua derivação:

[f (g (x))]^' = f^' (g (x)) * g^' ( x )

Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Vamos lá!

Passo 2

Lembrando que a derivada de ln x é (1)/(x) e aplicando a regra da cadeia na derivação, vamos ter:

f^' (x) = (1)/(sin^2 x) * (sin^2 x)^'

Agora observe que em sin^2 x também temos uma função composta, que é a potência ao quadrado e o seno no argumento. Então, também aplicamos a regra da cadeia para obter:

f^' (x) = (1)/(sin^2 x) * 2 sin x * (sin x)^'

f^' (x) = (1)/(sin^2 x) * 2 sin x * cos x

Simplificando, temos:

f^' (x) = (2 cos x)/(sin x)

Mas (cos x)/(sin x) = cot x , por definição. Sendo assim, ficamos com:

f^' (x) = 2 cot (x)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f^' (x) = 2 cot (x)

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