Enunciado

Derive a função

f ( t ) = (1 + ln ( t ))/(1 - ln ( t ))

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função apresentada em relação a t . Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra do Quociente, Regra de derivação de funções logarítmicas e outras regras.

Passo 2

Iremos derivar em relação a t a seguinte função

f ( t ) = (1 + ln ( t ))/(1 - ln ( t ))

Veja que há a divisão entre duas funções, então deveremos utilizar a Regra do Quociente, que ocorre quando queremos derivar a divisão de duas funções e ocorre da seguinte maneira

((f)/(g))^' = (f^' g - g^' f)/(g^2)

Passo 3

Derivando f ( x ) , temos

f^' (t) = (((1)/(t)) (1 - ln (t)) - (- (1)/(t)) ( 1 + ln ( t ) ))/(( 1 - ln ( t ) )^2)

Veja que, pela regra do quociente, temos a função que não está sendo derivada sendo multiplicada pela função que está sendo, conforme e Regra do Quociente.

Podemos simplificar a derivada da seguinte maneira

f^' (t) = (((1)/(t)) (1 - ln (t) + 1 + ln (t)))/(( 1 - ln ( t ) )^2) = ((2)/(t))/(( 1 - ln ( t ) )^2)

Resposta

f^' (t) = (2)/(t ( 1 - ln ( t ) )^2)

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