Enunciado

( a ) Mostre que f x = 2 x + cos ⁡ x é injetora

b Qual o valor de f - 1 ( 1 )

( c ) Use a fórmula do Exercício 67 ( a ) para determinar f - 1 ' ( 1 ) .

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... essa questãozinha é bem direta ao ponto haha.

Ela nos dá a seguinte função:

f x = 2 x + cos ⁡ x

Queremos mostrar que ela é uma função injetora, ou seja, cada elemento do domínio é mapeado para um único elemento no contradomínio.

Também devemos calcular o valor de f - 1 ( 1 ) e de f - 1 ' ( 1 ) .

Este último, devemos saber que:

f - 1 ' x = 1 f ' ( f - 1 ( x ) )

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

( a ) Bom galera, nesse exercício utilizaremos a derivada da função f ( x ) para mostrar que a função é injetora.

Derivando f ( x ) , temos:

f ' x = 2 - s e n   x

Como sabemos, s e n   x é uma função periódica e varia entre - 1 ,   1 .

Dessa forma nossa função está crescendo para qualquer valor de x , pois f ' x > 0 para qualquer valor de x .

Assim, nossa função é injetora.

Passo 3

( b ) Como f é injetora, então f - 1 1 = k e f k = 1 .

Apenas um valor de x faz com que f x = 1 , que é para x = 0 , portanto:

f 0 = 2 0 + cos ⁡ 0 = 1  

Dessa forma, k = 0 e f - 1 1 = 0 .

Passo 4

( c ) Utilizando a fórmula apresentada no Passo 1, temos:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x ∴

f - 1 ' 1 = 1 f ' f - 1 1 ∴

f - 1 ' 1 = 1 2 - s e n   0 ∴

f - 1 ' 1 = 1 2

Resposta

( a ) Nossa função está crescendo para qualquer valor de x , pois f ' x > 0 para qualquer valor de x . Assim, nossa função é injetora.

( b ) f - 1 1 = 0

( c ) f - 1 ' ( 1 ) = 1 2

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