Derive:

13) y = t \* sen(t) / (1 + t)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = t . sen ⁡ t 1 + t

E pede pra a gente derivar! Como essa função é um quociente, vamos usar a regra do quociente:

f ' x = g x h x ' = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

Podemos dizer que:

g t = t . sen ⁡ t

h t = 1 + t

Repara que em g ( x ) temos uma multiplicação, então vamos usar a regra do produto pra resolvê-la:

g ' x = m x n x ' = m ' x n x + n ' x m ( x )

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Antes de substituirmos na regra do quociente, vamos calcular as derivadas de g ' ( x ) e f ' ( x ) separadamente, vamos começar com g   ( t ) , e aqui teremos que utilizar a regra do produto:

g t = t . sen ⁡ t

Aplicando a regra do produto:

g ' x = m ' x n x + n ' x m ( x )

g ' t = t ' sin ⁡ t + sin ⁡ t ' t

A derivada de seno é tabelada:

d sin ⁡ x d x = cos ⁡ x

Resolvendo:

g ' t = 1 sin ⁡ t + cos ⁡ t t

g ' t = sin ⁡ t + t cos ⁡ t

Passo 3

Agora vamos derivar h ( t ) :

h t = 1 + t

h ' t = 1

Passo 4

Usando a regra do quociente:

f ' t = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

f ' t = sin ⁡ t + t cos ⁡ t 1 + t - 1 t . sen ⁡ t 1 + t 2

Simplificando:

f ' t = sin ⁡ t + t cos ⁡ t + t sin ⁡ t + t 2 cos ⁡ t - t . sen ⁡ t 1 + t 2

f ' t = t 2 + t cos ⁡ t + sin ⁡ t 1 + t 2

Prontinho!

Resposta

f ' t = t 2 + t cos ⁡ t + sin ⁡ t 1 + t 2

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