Enunciado

Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado.

1001 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar uma aproximação linear para estimar o valor da raiz cúbica de 1001 .

Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E a reta tangente tem a seguinte equação geral:

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Onde x 0 é o ponto que queremos estimar. No nosso caso, é 1001 , porque a nossa função é raiz cúbica, ou seja, f x = x 3 .

Isso quer dizer que para calcular uma estimativa para esse número que o enunciado nos deu, vamos linearizar a função f x = x 3 com a = 1000 (a gente sempre paga um número que é pertinho do que a gente quer, só que tenha valor exato). E aí vamos definir essa linearização, usando a forma da reta tangente, assim:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando nossa função:

f ' x = 1 3 x - 2 3

f ' x = 1 3 x 2 3

Agora vamos verificar o valor da nossa função em x = 1000 :

f 1000 = 10

E também da nossa derivada nesse mesmo ponto:

f ' 1000 = 1 300

Passo 3

Então, substituindo tudo na fórmula da linearização, vamos ter:

L x = 10 + 1 300 ( x - 1000 )

Agora é só fazer x = 1001 , pois é o valor que a gente procura:

L 1001 = 10 + 1 300 1001 - 1000

L 1001 = 10 + 1 300

L 1001 ≅ 10,003

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

10,003

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