Enunciado

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado.

x = 2 + cos ⁡ t

y = 3 + sen ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Assim

( x - 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = 1

Que é a equação de uma circunferência centrada no ponto ( 2,3 ) , com raio 1 .

Passo 2

Como o intervalo de parametrização é

0 ≤ t ≤ 2 π

Significa que temos uma volta completa na circunferência.

Assim, quando t = 0 e t = 2 π temos

x = 2 + cos ⁡ 0 = 2 + cos ⁡ 2 π = 3

y = 3 + sen ⁡ 0 = 3 + sen ⁡ 2 π = 3

Então nossa partícula começa e termina sua trajetória no ponto P i = P f = ( 3,3 ) e se move no sentido anti-horário ao longo da circunferência.

Resposta

A partícula se move no sentido anti-horário ao longo da circunferência

( x - 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = 1

Do ponto   P i = P f = ( 3,3 ) , ou seja, dá uma volta completa.

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva: x = t 2 y = t 3
Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado. x = sen ⁡ t y = cos 2 ⁡ t - 2 π ≤ t ≤ 2 π
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