Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 8
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
- Sem eliminar o parâmetro
- Primeiro eliminando o parâmetro
Passo 1
Sem eliminar o parâmetro, o vetor tangente à curva é dado por
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Passo 2
Vamo começar pela derivada de :
Agora a derivada de :
Substituindo na fórmula
Passo 3
Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.
Daí tiramos que
Substituindo no vetor tangente, temos:
Passo 4
Assim, a equação da reta tangente fica:
Passo 5
Agora temos que encontrar a mesma reta, só que eliminando o parâmetro .
Para isso, vamos usar a relação fundamental da trigonometria com tangente e secante, já que a gente não consegue isolar o .
Assim
E essa é a equação cartesiana que a nossa curva representa.
Repare que nossa curva tem duas partes, uma que está acima do eixo e outra que está abaixo. Mas como queremos saber a reta tangente num ponto especifico, que está acima do eixo vamos continuar daqui considerando somente a parte da curva que está acima do eixo, ok?
Passo 6
Agora para achar a reta tangente disso, é só fazer igual estamos acostumados no cálculo de uma variável.
A gente deriva isso em relação a e depois substituiu na equação da reta.
Derivando:
No ponto de tangencia , assim:
E a equação da reta tangente no ponto fica:
Igual achamos pelo outro método!