Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:

  1. Sem eliminar o parâmetro
  2. Primeiro eliminando o parâmetro

x = tan ⁡ θ

y = sec ⁡ θ

( 1 , 2 )

Passo 1

a )

Sem eliminar o parâmetro, o vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = sec ⁡ θ

d y d t = sec ⁡ θ tan ⁡ θ

Agora a derivada de x :

x = tan ⁡ θ

d x d t = sec 2 ⁡ θ

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ = sen ⁡ θ

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia ( 1 , 2 ) . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = tan ⁡ θ = 1

y = sec ⁡ θ = 2

Daí tiramos que

θ = π 4

Substituindo no vetor tangente, temos:

d y d x = sen ⁡ π 4 = 2 2

Passo 4

Assim, a equação da reta tangente fica:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 2 = 2 2 ( x - 1 )

y = 2 2 x + 2 2

Passo 5

b )

Agora temos que encontrar a mesma reta, só que eliminando o parâmetro t .

Para isso, vamos usar a relação fundamental da trigonometria com tangente e secante, já que a gente não consegue isolar o θ .

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Assim

y 2 = 1 + x 2

y = ± 1 + x 2

E essa é a equação cartesiana que a nossa curva representa.

Repare que nossa curva tem duas partes, uma que está acima do eixo y e outra que está abaixo. Mas como queremos saber a reta tangente num ponto especifico, que está acima do eixo y , vamos continuar daqui considerando somente a parte da curva que está acima do eixo, ok?

Passo 6

Agora para achar a reta tangente disso, é só fazer igual estamos acostumados no cálculo de uma variável.

A gente deriva isso em relação a x e depois substituiu na equação da reta.

Derivando:

d y d x = 2 x 2 1 + x 2

No ponto de tangencia x = 1 , assim:

d y d x = 2 . 1 2 1 + 1 2 = 1 2 = 2 2

E a equação da reta tangente no ponto ( 1 , 2 ) fica:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 2 = 2 2 ( x - 1 )

y = 2 2 x + 2 2

Igual achamos pelo outro método!

Resposta

y = 2 2 x + 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja P x 1 , y 1 um ponto na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 com focos F 1 e F 2 e seja α e β os ângulos entre as retas P F 1 , P F 2 e a elipse, como na figura. Demonstre que α = β . Isso explica como g
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 2 sen ⁡ θ ,θ = π / 6
Encontre o ângulo entre o raio vetor da curva r = 2a sen 3 θ e sua tangente quando θ = π / 6 .
Desenhe a espiral hiperbólica r θ = 1. O que parece acontecer a ψ conforme a espiral gira ao redor da origem?Confirme seu achado no item (a) analiticamente.
Os círculos r = 3 cos θ e r = sen θ se intersectam no ponto 3 2 , π 3 . Mostre que suas tangentes são perpendiculares ali.