Enunciado

  1. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
  2. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = 4 cos ⁡ θ

y = 5 sen ⁡ θ

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 1

a )

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Assim,

x 4 2 + y 5 2 = 1

Que é a equação cartesiana de uma elipse centrada na origem, com semieixo horizontal 4 e semieixo vertical 5 .

Porém, o intervalo de parametrização é

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Portanto não estamos falando da elipse inteira, apenas de metade dela. (é como se o intervalo fosse de 0 até π )

Passo 2

b )

Quando θ = - π 2 temos

x = 4 cos ⁡ - π 2 = 0

y = 5 sen ⁡ - π 2 = - 5

Quando θ = π 2 temos

x = 4 cos ⁡ π 2 = 0

y = 5 sen ⁡ π 2 = 5

Assim, nossa semicircunferência começa no ponto ( 0 , - 5 ) e termina no ponto ( 0 , 5 ) .

Além disso, nesse intervalo de θ temos que

cos ⁡ θ ≥ 0

Então

x = 4 cos ⁡ θ ≥ 0

E nossa semielipse está na parte positiva do eixo x .

Passo 3

Traçando nossa curva, temos

Resposta

a )

x 4 2 + y 5 2 = 1

b )

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o prametro aumenta. x = 1 2 cos ⁡ θ ,y = 2 sen ⁡ θ ,
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = c o s 5 θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 1 - c o s θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 1 + 2 c o s θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 3 + 4 c o s θ