Enunciado

Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:

A é o conjunto de todos (x, y) tais que x 2 - 1   ≤ y   ≤ 0 .

Passo 1

Oi, pessoal! O problema pede para gente calcular uma área que está entre a função x 2 - 1 e 0 .

Então vamos ter que desenhar essa área, achar os limites de integração e então resolver a integral definida.

Lembre-se: para desenhar a figura basta colocar os dados do problema, um de cada vez. O conjunto se encontra sempre entre as funções dadas e marcá-lo no desenho ajuda a visualizar e calcular.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos em que a função x 2 - 1 e 0 se cruzam. A gente faz isso igualando,

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Como, temos uma equação do segundo grau e o nosso x 2 é positivo, vamos ter uma parábola com concavidade para cima. Desenhando:

Pela figura vemos que a area vai de x = - 1 até x = + 1 , ou seja, esses são os limites de integração.

Vamos montar a integral!

Passo 3

A partir do desenho fica mais simples de montar a equação de área. O sinal negativo antes da integral se deve ao fato do conjunto estar abaixo do eixo y:

Á r e a =   - ∫ - 1 1 x 2 - 1   d x

Agora é só resolver a integral,

Á r e a =   - x 3 3 - x 1 - 1 =

= - 1 3 3 - 1 - - 1 3 3 - - 1 = 4 3

Resposta

Á r e a = 4 3

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