Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. a) A região cortada do primeiro quadrante pelo círculo x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

A região é a parte do círculo que tem x positivo e y positivo. Como está na figura abaixo:

Essa função será:

y = 9 - x 2 ,   x > 0

Passo 2

O comprimento da linha vertical será de:

L = 9 - x 2

Como a largura é de d x logo, sua área é de:

d m = δ d A

d A = 9 - x 2 d x

E sua massa:

d m = δ 9 - x 2 d x

Calculando x médio nós teremos:

x m = x

E y médio:

y m = 9 - x 2 + 0 2

Passo 3

Calculando M nós teremos:

M = ∫ d m = ∫ 0 3 δ d A   d x

M = δ ∫ d A

Que é a área de um quarto de um quarto de círculo de raio 3, que é:

A = π 3 2 4 = π 9 4

Logo:

A = 9 δ π 4

Calculando M x :

M y = δ ∫ 0 3 9 - x 2 2 9 - x 2 d x

M y = δ 2 ∫ 0 3 9 - x 2 d x → δ 2 9 x - x 3 3 0 3 → δ 2 27 - 9 = 9 δ

M x = δ ∫ 0 3 x 9 - x 2 d x

Substituindo:

u = 9 - x 2

Temos que:

d u = - 2 x   d x

- d u 2 = x d x

E suas substituições:

u = 9 - 0 2 = 9

u = 9 - 3 2 = 0

Então temos:

M x = - δ 2 ∫ 9 0 u   d u

M x = δ 2 ∫ 0 9 u   d u

M x = δ 2 u 3 2 3 2 0 9

M x = δ 3 27 = 9 δ

Matematicamente pudemos ver que x - = y - . O que prova que se fizermos tanto pela linha vertical ou pela horizontal ela terá o mesmo tamanho.

Passo 4

Calculando uma delas, vemos que:

9 δ 9 δ π 4 = 4 π

Resposta

x - , y - = 4 π , 4 π

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