Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. b) A região limitada pelo eixo x e pelo semicírculo y = 9 - x 2

Passo 1

Nesse caso temos valores negativos de x também. Agora nosso x varia de -3 a 3.

O que nos possibilita dizer que centramos nosso x - , que pela simetria vale 0.

Passo 2

O tamanho da linha vertical terá tamanho de:

L = 9 - x 2

Como sua largura é de d x logo sua área é de:

d A = 9 - x 2 d x

Sua massa será de:

d m = δ d A

d m = δ 9 - x 2   d x

O seu y médio será de:

y m = 9 - x 2 + 0 2

Passo 3

Calculando M nós temos:

M = ∫ d m = δ ∫ - 3 3 d A d x

Que é a área de um semicírculo de raio 3 multiplicado pela densidade que é:

A = π 3 2 2 = 9 π 2

Logo M = 9 π δ 2

Agora calculando M x :

M x = δ ∫ - 3 3 9 - x 2 2 9 - x 2   d x

M x = 2 δ 2 ∫ 0 3 9 - x 2 d x = δ 9 x - x 3 3 0 3 = δ 27 - 9 = 18 δ

Passo 4

Calculando y - :

y - = M x M = 18 δ 9 π 2 δ = 4 π

Resposta

Centro de Massa:

x - , y - = 0 , 4 π

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