Enunciado

Desenhe o gráfico da função definida em [0, 8] que tenha f 0 = f 8 = 3 e que a função não satisfaça à conclusão do teorema de Rolle em [0, 8].

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Ela pede pra a gente desenhar o gráfico da função definida em [0, 8] que tenha f 0 = f 8 = 3 , porém essa função não deve satisfazer a conclusão do teorema de Rolle em [ 0 ,   8 ] .

Bem, antes de qualquer coisa vamos relembrar a definição do teorema de Rolle.

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f   é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de ( a ,   b );
  3. f ( a )   =   f ( b )

Então há um número   c   no intervalo aberto ( a ,   b ) onde f ’ ( c )   =   0

Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos montar o nosso gráfico.

Passo 2

Como o enunciado pediu para que a conclusão do teorema de Rolle não fosse respeitada, então não podemos ter um ponto com derivada nula. Além disso a outra informação é: f 0 = f 8 = 3 . Desenhando esses pontos:

Olhando assim pode parecer que teremos uma parábola com concavidade pra baixo, assim por exemplo:

Mas nesse caso teríamos f ' 4 = 0 e estaríamos obedecendo a lei de Rolle! Não é o que queremos!

Passo 3

Outra possibilidade seria dizer que f x = 3 , nesse caso nosso gráfico seria apenas uma reta horizontal. Porém de novo f ' 3 = 0 . Então precisamos pensar...

Você pode reparar que o gráfico acima cresce suavemente até chagar a um ponto de máximo onde sua derivada é igual a zero e depois ele decresce suavemente de novo.

Mas e se tivéssemos uma “quina”?! Nesse caso não temos uma derivada definida! Logo não teremos f ’ ( c )   =   0 !

Repara que no lugar do “ponto máximo” temos uma mudança de direção abrupta, nesse caso podemos dizer que a nossa função não é contínua, portanto não podemos calcular sua derivada!

É claro que essa é apenas uma possibilidade, existem infinitas, inclusive:

Fechou?!

Resposta

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