Enunciado

Se uma quantidade A 0 de dinheiro é investida à uma taxa de juros r combinada n   vezes ao ano, o valor do investimento após t anos será

A = A 0 1 + r n n t

Se deixarmos n → ∞ , nós teremos um juros composto contínuo. Utilize a Regra de l’Hôspital para mostrar que se o juros é composto contínuo, então teremos após t anos uma quantidade de dinheiro igual a

A = A 0 e r t

Passo 1

Vamos analisar os dados dados pela questão:

Sabemos que A 0 é uma constante, pois a quantidade de dinheiro investida inicialmente não irá variar no tempo.

A taxa r e o valor t são definidos, portanto também são constantes.

A questão pede para mostrarmos que o valor de A é igual a A = A 0 e r t quando n → ∞ a partir da fórmula geral

A = A 0 1 + r n n t

Ou seja, a questão quer que a gente calcule

lim n → ∞ ⁡ A 0 1 + r n n t  

e que para isso devemos utilizar a Regra de l’Hôspital.

Como A 0 é uma constante, podemos reescrever o limite acima da seguinte forma

A 0 lim n → ∞ ⁡ 1 + r n n t  

Passo 2

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.

Analisando o limite

lim n → ∞ ⁡ 1 + r n n t  

vemos que temos uma situação com potência.

Quando isso acontece, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

lim n → a ⁡ f ( n ) g ( n )  

Utilizando as informações do enunciado, podemos chamar

f n = 1 + r n

g n = n t

Para que a Regra de l’Hôspital seja apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 , ∞ 0 ou 1 ∞ quando n → a .

Na nossa questão, quando n → ∞ , nós temos que

f n = 1 + r n → 1

g n = n t → ∞

Logo, nós obtemos a forma 1 ∞ , comprovando que a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 3

Agora vamos encontrar este limite.

Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, vamos utilizá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!

Neste método temos que

lim n → a ⁡ f n g ( n ) = lim x → a ⁡ f ' n g ' ( n )

O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. Pode parecer complicado, mas ao fazer pequenas manipulações algébricas, conseguimos facilitar muito nosso problema.

Vamos dizer que

y = 1 + r n n t

Como temos um caso com potência, aplicar o logarítimo em ambos os lados costuma ser uma boa ideia. Assim, obtemos

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 + r n n t = n t ln ⁡ 1 + r n

Agora vamos fazer mais uma manipulação para atender ao requisito da Regra:

ln ⁡ y = n t ln ⁡ 1 + r n = t ln ⁡ 1 + r n 1 / n

Vamos chamar f n = t ln ⁡ 1 + r n e g x = 1 / n . As derivadas dessas funções são

f ' n = - t r / n 2 1 + r n

g ' n = - 1 n 2

Substituindo esses valores, obtemos

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ y     = lim n → ∞ ⁡ t ln ⁡ 1 + r n 1 / n   = lim n → ∞ ⁡ - t r / n 2 1 + r n - 1 / n 2  

lim n → ∞ ⁡ - t r / n 2 1 + r n - 1 / n 2   = lim n → ∞ ⁡   r t 1 + r n = r t

Ainda não acabamos por aqui!

Até agora nós calculamos o limite de ln ⁡ y mas na verdade queremos o limite de y .

Sabemos que

y = e ln ⁡ y

Logo, temos que

y = e n t ln ⁡ 1 + r n

Substituindo esse valor no limite dado pelo enunciado, temos que

lim n → ∞ ⁡ 1 + r n n t   = lim n → ∞ ⁡ y  

lim n → ∞ ⁡ e n t ln ⁡ 1 + r n   = lim n → ∞ ⁡ e r t   = e r t

Nem foi tão dificil ein ?!

Portanto, para n → ∞ , temos que

A = A 0 e r t

Essa sim é a resposta que estávamos procurando.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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