Enunciado

Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74.

r = 4 sen ⁡ θ

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

r 2 = x 2 + y 2 ,   x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da equação cartesiana encontrada.

Bora lá?

Passo 2

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por r:

r 2 = 4 r sen ⁡ θ

Usando as relações citadas no passo 1, temos:

x 2   + y 2 = 4 y

x 2   + y 2 - 4 y = 0

Vamos usar o método de completar quadrados somando 4 em ambos os lados da igualdade, assim:

x 2   + y 2 - 4 y + 4 = 4

Usando a fatoração do produto notável, temos:

x 2   + y - 2 2 = 4

Uma vez que a equação geral de uma circunferência é dada por:

x - x c 2 + y - y c 2 = r 2

Onde ( x c , y c ) são as coordenadas do centro e r o seu raio.

Temos então:

Centro: ( 0 , 2 ) e Raio: r = 2

Encontramos assim, nossa equação em coordenadas cartesianas e ela representa uma circunferência.

Passo 3

Agora, traçando o gráfico da equação, com auxílio de um software, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x 2   + y - 2 2 = 4 .

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