Enunciado

Determina a , para que a equação

x 3 + 3 x 2 - 9 x + a = 0

admita uma única raiz real.

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = x 3 + 3 x 2 - 9 x + a ' = 3 x 3 - 1 + 2 ⋅ 3 x 2 - 1 - 9 x 1 - 1 + 0 = 3 x 2 + 6 x - 9

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

3 x 2 + 6 x - 9 = 0 ↔ 3 x - 1 x + 3 = 0

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

f 1 = 1 3 + 3 ⋅ 1 2 - 9 ⋅ 1 + a = 1 + 3 - 9 + a = - 5 + a

f - 3 = - 3 3 + 3 ⋅ - 3 2 - 9 ⋅ - 3 + a = - 27 + 27 + 27 + a = 27 + a

Passo 3

Temos que pelo Teorema do Valor Intermediário que se f é contínua sobre o intervalo fechado a , b e L é um número real tal que f a < L < f b ou f b < L < f a então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que f c = L .

Temos então:

- 5 + a > 0 → a > 5

27 + a < 0 → a < - 27

Resposta

a > 5 ou a < - 27

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