Enunciado

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

c) f x = 3 x 2 + 6 x + 7

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = 3 x 2 + 6 x + 7

f ' x = 6 x + 6

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 , se liga:

f ' x > 0 ⇒ 6 x + 6 > 0

6 x > - 6

x > - 1

Agora para o segundo caso:

f ' x < 0 ⇒ 6 x + 6 < 0

6 x < - 6

x < - 1

Sendo assim, pelos resultados que obtemos aqui em cima, podemos concluir que:

Intervalos crescentes: ( - 1 ,   + ∞ ) ;

Intervalos decrescentes: ( - ∞ ,   - 1 ) .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico conseguimos notar que realmente nosso resultado faz sentido! À direita de x = - 1 a derivada é positiva, então é a parte crescente da função. À esquerda de x = - 1 a derivada é negativa, então é a parte decrescente da função, que é exatamente o resultado que chegamos algebricamente.

Resposta

Intervalos crescentes: ( - 1 ,   + ∞ )

Intervalos decrescentes: ( - ∞ ,   - 1 ) .

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