Enunciado

Determinar a equação do plano tangente à superfície S dada, no ponto indicado:

r → u , v = u i ^ + v j ^ + u 2 + 2 v 2 k ^ ; P ( 0,1 , 2 )

Passo 1

Olá amiguinhos, quando temos nossa equação parametrizada r → u , v que determina a posição de cada ponto em nossa superfície, temos que ∂ r → / ∂ u   = d ( r → u , v 0 ) / d u é o vetor tangente na direção u e consequentemente ∂ r → / ∂ v   = d ( r → u 0 , v ) / d v o vetor tangente na direção v . Logo esses dois vetores são os vetores que determinam nosso plano tangente, onde para formar um plano, precisamos lembrar que sempre precisamos de um ponto e dois vetores linearmente independente.

x , y , z = P + λ V 1 → + γ V 2 →

Passo 2

Queremos calcular o plano tangente, então primeiro

∂ r ∂ u = ( 1,0 , 2 u )

e

∂ r ∂ v = ( 0,1 , 4 v )

Assim vamos tomar que ∂ r ∂ u = u 1 , u 2 , u 3 e ∂ r ∂ v = v 1 , v 2 , v 3

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0   + λ u 1 , u 2 , u 3 + γ ( v 1 , v 2 , v 3 )

Assim temos para P 0 0,1 , 2 temos u = 0 e v = 1 implicando nos vetores ( 1,0 , 0 ) e 0,1 , 4

x , y , z = 0,1 , 2 + λ 1,0 , 0 + γ ( 0,1 , 4 )

Que nos da

x = λ ; y = 1 + γ ; z = 2 + 4 γ

E nos resumimos a

4 y - z - 2 = 0

Resposta

4 y - z - 2 = 0

.

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