Enunciado

Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada:

a )   γ t = 2 t + 1,3 t - 1 ,     t ≥ 0

Passo 1

O nosso objetivo aqui é fazer com que γ ' t seja igual a 1, porém se fizermos os cálculos vamos achar um resultado diferente:

γ ' t = γ ' 1 2 + γ ' 2 2

Vamos ficar com:

γ ' 1 2 + γ ' 2 2 = 2 t + 1 ' 2 + 3 t - 1 ' 2 = 2 2 + 3 2

= 4 + 9 = 13

Para que tenhamos que esse resultado dê 1 vamos aplicar a normalização, ou seja, aplicamos uma substituição, tal que quando derivarmos teremos o resultado da norma igual a 1:

Para o caso dado temos que:

γ ' γ '

Passo 2

Agora que vamos achar γ ' :

γ ' = 2 t + 1 ' , 3 t - 1 ' = 2 ,   3

γ ' γ ' = 2 ,   3 13 = 2 13 , 3 13

Agora vamos achar um δ tal que:

δ s = ∫ 2 13 d s , ∫ 3 13 d s = 2 13 s + c 1 , 3 13 s + c 2

Se usarmos c 1 = 0 = c 2 , teremos que γ δ s será:

γ δ s = 2 13 s + 1 , 3 13 s - 1

Se quisermos agora a norma do novo vetor, teremos:

γ ' 1 2 + γ ' 2 2 = 2 13 s + 1 ' 2 + 3 13 s - 1 ' 2 = 2 13 2 + 3 13 2 = 4 13 + 9 13

= 4 + 9 13 = 1 = 1

Resposta

O novo parâmetro será:

γ δ s = 2 13 s + 1 , 3 13 s - 1

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