Determinar o domínio das seguintes funções e representa-las gráficamente:

g) z = ln((raiz(x^2 + y^2) - x) / (raiz(x^2 + y^2) + x))

Passo 1

O domínio é o conjunto no qual podemos realizar as operações. Isto é, sem divisão por zero, raízes com números negativos, logaritmos com logaritmando negativo.

Para o seguinte caso nós não podemos ter divisão por zero, como também o argumento dentro das raízes quadradas deve ser não negativo.

Passo 2

Então temos que:

x 2 + y 2 - x x 2 + y 2 + x > 0

Para facilitar nossos cálculos vamos utilizar coordenadas polares!!!

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

r ≥ 0

Então:

x 2 + y 2 - x x 2 + y 2 + x = r - rcos ⁡ θ r + rcos ⁡ θ = 1 - cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ

Usando a identidade de ângulo metade:

1 - cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ 2 .

Logo a expressão dentro do ln ⁡ depende só de θ :

z = ln ⁡ tan 2 ⁡ θ 2 = 2 ln ⁡ tan ⁡ θ 2 .

Passo 3

Para que z esteja definido precisamos:

  • o argumento do ln ⁡ ser estritamente positivo;
  • e não haver divisão por zero em 1 - cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ

Essas duas condições excluem os ângulos θ = 0 (e equivalentes 2 π , etc.) e θ = π . Em coordenadas cartesianas isso corresponde exatamente ao eixo x (retirando a origem, que também fica excluída). Portanto o domínio é

( x , y ) ��� R 2 : y ≠ 0

Prontinho!

Resposta

( x , y ) ∈ R 2 : y ≠ 0

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