Enunciado

Determinar a massa do sólido acima do plano X Y , delimitado pelo cone 9 x 2 + z 2 = y 2 e o plano y = 9 . A densidade no ponto P ( x , y , z ) é proporcional à distância do ponto ao plano X Y .

Passo 1

O sólido está representado na figura abaixo:

A densidade é dada por: δ x , y , z = z k , e podemos escrever a integral para a massa assim:

M = 2 k ∫ 0 9 ∫ 0 y 3 ∫ 0 y 2 - 9 x 2 z   d z d x d y

Passo 2

Calculamos agora:

M = 2 k   ∫ 0 9 ∫ 0 y 3 z 2 2 0 y 2 - 9 x 2 d x d y

M = 2 k ∫ 0 9 ∫ 0 y 3 y 2 - 9 x 2 d x d y

M = 2 9 k ∫ 0 9 y 3   d y

M = 2 9 k y 4 4 0 9

M = 2 k 9 ∙ 9 4 4

M = 729 k 2   u . m

Pronto! Essa é a massa procurada😉

Resposta

M = 729 k 2   u . m

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