Enunciado

Determinar o momento de inércia da barra do exercício 12 em relação a um eixo perpendicular que passa pela origem.

Passo 1

O momento de inércia I de uma barra homogêna, de seção transversal (espessura) desprezível, é definido pela seguinte expressão:

I = ∫ 0 L r ( x ) 2 ∙ λ ( x ) ∙ d x

Em que L é o comprimento da barra, λ ( x ) é a densidade linear da barra, r ( x ) é a distância da posição do eixo de rotação a um ponto x qualquer ( x ' - x ) , e d m é o infinitésimo da massa M da barra.

Passo 2

Temos, para a barra do exercício 10, o seguinte momento de inércia:

I = ∫ 0 1 x 2 ∙ e x ∙ d x

Usando o método da integração por partes, que você talvez já conheça, teremos o seguinte:

∫ u ∙ d v = u ∙ v - ∫ v ∙ d u

Onde u = x 2 ; d v = e x ∙ d x ; v = e x ; d u = 2 x ∙ d x . Fazemos as substituições e teremos:

∫ x 2 ∙ e x = x 2 ∙ e x - ∫ e x ∙ 2 x ∙ d x

= x 2 ∙ e x - 2 ∙ ∫ x ∙ e x ∙ d x

Passo 3

Do exercício 12, já temos resolvida, também pelo método por partes, a integral ∫ x ∙ e x ∙ d x , que vimos que vale   x ∙ e x - e x . Então, teremos:

I = ∫ 0 1 x 2 ∙ e x = x 2 ∙ e x - 2 ∙ ( x ∙ e x - e x ) 0 1

= x 2 ∙ e x - 2 x e x - 2 e x 0 1

I = e - 2 e - 2 e - 2

∴ I = e - 2

Resposta

∴ I = e - 2

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