Enunciado

Determinar o ponto P(x, y, z) do plano x +   3 y +   2 z =   6 , cuja distância à origem seja mínima.

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de aproximação. E a condição será:

s . a .                   x +   3 y +   2 z =   6

Como nós queremos minimizar a distância vamos usar a fórmula:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Sabendo que ( x 0 , y 0 , z 0 ) são referentes ao ponto 0 ,   0 ,   0 . Substituindo:

d = x 2 + y 2 + z 2

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

min ⁡                                 x 2 + y 2 + z 2

s . a .                   x +   3 y +   2 z =   6

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x 2 + y 2 + z 2 - λ ( x +   3 y +   2 z -   6 )

Derivando L em relação às variáveis x, y, z e λ   e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 × 2 x - λ = 0

∂ L ∂ y = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 × 2 y - 3 λ = 0

∂ L ∂ z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 × 2 z - 2 λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( x +   3 y +   2 z -   6 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = y 3

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

y 3 = z 2

Colocando na última equação:

x +   3 ( 3 x ) +   2 ( 2 x ) -   6 = 0

x +   9 x +   4 x -   6 = 0

x = 3 7

Achando y e z:

y = 3 x → y = 9 7

z = 2 x → z = 6 7

Sendo assim, nós temos o ponto 3 7 ,   9 7 ,   6 7 .

Tranquilinha?

Resposta

3 7 ,   9 7 ,   6 7 .

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