Lista de Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

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O que podemos afirmar sobre a existência de valores extremos da função

f x , y = - 2 x 2 + y 2

No conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 ?

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Podemos garantir que o problema de minimização da função :

f x , y = e x + y + z

Sujeito as restrições   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1 , tem solução?

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Podemos garantir que o problema de maximização da função :

f x , y = s e n e x y 2

Sujeito as restrições x < 1   e   y < 1 , tem solução?

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Encontre os valores máximos absolutos e mínimos absolutos da função

f x , y = x + y 2

No domínio x - 2 2 + y 2 ≤ 1 .

Indique onde esses valores extremos são atingidos.

Explique por que esses valores extremos devem existir.

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Considere a função f : D → I R dada por

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

Onde D é o domínio D ≔ x , y ∈ I R   : x 2 + x y + y 2 ≤ 1     .

  1. Encontre e classifique os pontos críticos de f no interior do domínio D .
  2. Explique por que os valores extremos absolutos de f devem existir em D .
  3. Encontre os valores máximos absolutos e mínimos absolutos de f em D . Indique os pontos de D onde esses valores extremos são atingidos

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Considere a função f : D → I R dada por

f x , y = ln ⁡ 2 x 2 + 2 y 2 + 2

Onde D é o domínio D ≔ x , y ∈ I R   : 3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 ≤ 1     .

  1. Encontre e classifique os pontos críticos de f no interior do domínio D .
  2. Explique por que os valores extremos absolutos de f devem existir em D .
  3. Encontre os valores máximos absolutos e mínimos absolutos de f em D . Indique os pontos de D onde esses valores extremos são atingidos

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Considere a função f : D → I R dada por

f x , y = ln ⁡ x 2 2 + y 2 2 + 1

Onde D é o domínio D ≔ x , y ∈ I R   : 2 x 2 + 3 x y + 2 y 2 ≤ 2     .

  1. Encontre e classifique os pontos críticos de f no interior do domínio D .
  2. Explique por que os valores extremos absolutos de f devem existir em D .
  3. Encontre os valores máximos absolutos e mínimos absolutos de f em D . Indique os pontos de D onde esses valores extremos são atingidos

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