Enunciado

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Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo da área, mas sabendo que o perímetro deve ser igual a 10 cm.

Então neste caso a condição será:

s . a .                   a + b + c = 10

Onde a, b e c são os lados do triângulo, certo?

Segundo a fórmula de Heron, a área de um triângulo pode ser calculada em função dos seus lados e do semiperímetro:

A = s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c )

Onde:

s = a + b + c 2

Substituindo a nossa condição:

s = 10 2 = 5

A área vai ficar:

A = 5 ( 5 - a ) ( 5 - b ) ( 5 - c )

Então, para maximizar a área devermos maximizar a função:

5 ( 5 - a ) ( 5 - b ) ( 5 - c )

Nós teremos o seguinte problema de otimização:

max ⁡                 5 ( 5 - a ) ( 5 - b ) ( 5 - c )

s . a .                                                   a + b + c = 10

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = 5 5 - a 5 - b 5 - c - λ ( a + b + c - 10 )

Derivando L em relação às variáveis a, b e c e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ a = - 5 5 - b 5 - c - λ = 0

∂ L ∂ b = - 5 5 - a 5 - c - λ = 0

∂ L ∂ c = - 5 5 - a 5 - b - λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( a + b + c - 10 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

a = b

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

b = c

Colocando na última equação:

a + b + c - 10 = 0

3 a = 10 → a = 10 3

Sendo assim, todos os lados do triângulo são iguais e medem 10 3   c m .

Tranquilinha?

Resposta

T r i â n g u l o   d e   l a d o s   i g u a i s   a 10 3 c m .

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