Enunciado

Calcular as dimensões de um retângulo de área máxima inscrito numa semicircunferência de raio 2.

Passo 1

Beleza galera, vamos olhar o que está acontecendo:

A diagonal da metade do retângulo é dada por:

d i a g o n a l =   a 2 2 + b 2 = a 2 4 + b 2

Neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo para a área, mas sabendo que d i a g o n a l = r a i o :

s . a .                   a 2 4 + b 2 =   r

Elevando ambos os lados ao quadrado elembrando que r = 2 :

s . a .                   a 2 4 + b 2 =   4

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

max ⁡                                                                 a b

s . a .                             a 2 4 + b 2 =   4

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = a b - λ a 2 4 + b 2 -   4

Derivando L em relação às variáveis a e b e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ a = b - a λ 2 = 0

∂ L ∂ b = a - 2 b λ = 0

∂ L ∂ λ = - a 2 4 + b 2 -   4 = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

a = ± 2 b

Como estamos nos tratando de medidas, teremos o valor positivo.

Colocando na última equação:

a 2 4 + b 2 -   4 = 0

( 2 b ) 2 4 + b 2 =   4

2 b 2 = 4

b = 2

Achando a:

a = 2 2

As dimensões do retângulo então serão ( 2 2 ,   2 ) .

E fim galerinhaa!

Resposta

( 2 2 ,   2 )

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