Enunciado

Determinar uma representação paramétrica da reta representada por:

b) 2 x - 5 y + 4 z = 1 ,   3 x - 2 y - 5 z = 1

Passo 1

Então pessoal, antes de tudo, o que seria determinar uma representação paramétrica da reta? Seria escrevermos uma função vetorial que possui componentes em x , y e z ou, como geralmente acontece, apenas em x e y . No entanto, essas variáveis têm que estar escritas em termos de uma variável só, que é t , e é isso que vamos buscar fazer no exercício, tudo jóia? Então vamo pra cima!

Passo 2

As curvas que nos foram dadas foram:

2 x - 5 y + 4 z = 1   ( E q .   1 )

3 x - 2 y - 5 z = 1   ( E q .   2 )

Se chamarmos x = t , teremos que as equações se tornarão:

2 t - 5 y + 4 z = 1

Isolando y , teremos:

5 y = 2 t + 4 z - 1

y = 2 t + 4 z - 1 5   ( E q .   3 )

Agora para a segunda equação:

3 t - 2 y - 5 z = 1

Isolando y , teremos:

2 y = 3 t - 5 z - 1

y = 3 t - 5 z - 1 2   ( E q .   4 )

Igualando os dois y que encontramos, teremos:

2 t + 4 z - 1 5 = 3 t - 5 z - 1 2

4 t + 8 z - 2 = 15 t - 25 z - 5

8 z + 25 z = 15 t - 5 - 4 t + 2

∴ z = 11 t - 3 33

Passo 3

Agora que já escrevemos z e x em função de t , basta escrevermos y em função de t . Substituindo o resultado que encontramos em qualquer uma das equações que escrevemos no passo 2 (Eq. 3 ou Eq. 4), teremos:

2 y = 3 t - 5 z - 1

2 y = 3 t - 5 . 11 t - 3 33 - 1

2 y = 3 y - 55 t 33 + 15 33 - 1

66 y = 99 t - 55 t + 15 - 33

∴ y = 22 t - 9 33

E aí está, escrevemos todas as variáveis em função de t ! Para facilitar a visualização:

x = t y = 22 t - 9 33 z = 11 t - 3 33

Por fim, em termos de vetores unitários nossa equação vetorial será:

r → t = t i → + 22 t - 9 33 j → + 11 t - 3 33 k →

E está aí nossa representação paramétrica, pessoal! 😉

Resposta

r → t = t i → + 22 t - 9 33 j → + 11 t - 3 33 k →

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