Enunciado

Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:

b) z = 2 x 2 + 4 y 2 ; P 0,0 , 0

Passo 1

A ideia nessa questão é lembrar que o vetor gradiente é normal a curva. Então vamos montar uma expressão para f x , y , z e acharmos o gradiente de f . Por fim, vamos verificar o valor do gradiente no ponto 0,0 , 0 . A expressão que ele nos deu foi a seguinte:

z = 2 x 2 + 4 y 2

Isto é,

z - 2 x 2 - 4 y 2 = 0

Então a expressão para f x , y , z fica o seguinte:

f x , y , z = z - 2 x 2 - 4 y 2

OBS: Repare que também podemos escrever f x , y , z = - z + 2 x 2 + 4 y 2 e com isso chegaríamos no mesmo vetor que o gabarito, mas como ele diz “Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado” podemos encontrar qualquer um que atende a essa condição, sacou?

Passo 2

Agora que já encontramos f x , y , z vamos ver como fica o gradiente de f :

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Assim,

∇ f x , y , z = ∂ z - 2 x 2 - 4 y 2 ∂ x i → + ∂ z - 2 x 2 - 4 y 2 ∂ y j → + ∂ z - 2 x 2 - 4 y 2 ∂ z k →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y , z = - 2 x   i → - 8 y   j → + 1   k →

Passo 3

Para finalizarmos esse exercício, basta verificarmos o valor do gradiente no ponto 0,0 , 0 . Assim,

∇ f 0,0 , 0 = - 2 × 0   i → + - 8 × 0   j → + 1   k →

Logo,

∇ f 0,0 , 0 = 0   i → + 0   j → + 1   k →

Representando geometricamente esse vetor:

Resposta

Vetor:

∇ f 0,0 , 0 = 0   i → + 0   j → + 1   k →

Representação geométrica:

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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:i) f x ,t = x + 2 t ln ⁡ ( x + 2 t ) ; P e , 1
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:b) z = x 2 y + 3 x y + y 2 ; P 0 ,3
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:f) z = x y - s e n( x + y ) ; P π 2 , 0