Enunciado

6.Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares

(j) f x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 )

Passo 1

Antes de começarmos a colocar qualquer grafite no papel, vamos dar uma pensada antes!

Qual seria a característica algébrica de uma função par?

f x = f - x

E qual seria uma característica de uma função ímpar?

f x = - f - x

Passo 2

Então antes de fazermos para valores genéricos, chutaremos sempre dois valores que são 1

e- 1 Vamos lá:

f 1 = ln ⁡ ( 1 + 1 2 + 1 ) = ln ⁡ ( 1 + 2 )

Agora f - 1 :

f - 1 = ln ⁡ ( - 1 + - 1 2 + 1 ) = ln ⁡ ( - 1 + 2 )

Você pode estar pensando, ihhhh não tem relação, mas calma, você precisa estar bem afiado com essas funções especiais para não termos problema na sua caminhada.

A verdade é que

ln ⁡ ( 1 + 2 ) = - ln ⁡ ( - 1 + 2 )

Como assim???

Ora, vamos ver se isso é verdade, faremos essa expressão ln ⁡ ( 1 + 2 ) ficar ao inverso, assim ó:

ln ⁡ 1 1 + 2 = - ln ⁡ ( 1 + 2 )

Podemos racionalizar o lado esquerdo também!

ln ⁡ 1 1 + 2 1 - √ 2 1 - √ 2 = ln ⁡ 1 - √ 2 1 - 2 = ln ⁡ 1 - √ 2 - 1 = ln ⁡ - 1 + 2

Então:

ln ⁡ - 1 + 2 = - ln ⁡ ( 1 + 2 )

Como pensávamos !!! Está certinho, porém agora precisamos provar para valores genéricos f ( x ) e f - x !

Passo 3

f x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 )

f - x = ln ⁡ ( - x + - x 2 + 1 ) = ln ⁡ ( - x + x 2 + 1 )

Vamos multiplicar e dividir por x + x 2 + 1 !!!

ln ⁡ ( - x + x 2 + 1 ) x + x 2 + 1 x + x 2 + 1 = l n - x 2 + x 2 + 1 x + x 2 + 1 = l n + 1 x + x 2 + 1

Chegamos nisso aqui:

ln ⁡ ( - x + x 2 + 1 ) = l n 1 x + x 2 + 1 = ln ⁡ x + x 2 + 1 - 1

Lembra da regra do peteleco?

Então é só colocarmos o -1 para fora, dessa forma aqui:

ln ⁡ ( - x + x 2 + 1 ) = - ln ⁡ x + x 2 + 1

Vamos comparar as coisas agora:

f - x = ln ⁡ ( - x + x 2 + 1 )

E

f x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 )

Então, f - x = - f ( x )

Chegamos na expressão que define uma função Impar, essa função é Impar!!

Resposta

A função é Impar

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